Transcription

TKS 4007Matematika IIIIntegral Vektor(Pertemuan VI)Dr. AZJurusan Teknik SipilFakultas TeknikUniversitas BrawijayaIntegral GarisDari Gambar 6.1, sebuah obyek bergerak dengan lintasantidak lurus dari titik A ke titik B. Jika gaya yang diberikanberubah nilai dan arahnya, maka usaha yang dilakukanadalah seperti Pers. (6.1).Gambar 6.1. Obyek dengan lintasan tidak lurus1

Integral Garis (lanjutan)𝑾 π’Š π‘­π’Š . πš«π’“π’Š(6.1)Jika perubahannya kontinu untuk perpindahan dari titik a ketitik b sepanjang lintasan C, maka Pers. (6.1) berubahmenjadi bentuk integral seperti Pers. (6.2).𝑾 𝒃𝑭. 𝒅𝒓𝒂(6.2)Usaha yang dihasilkan merupakan integral garis dari fungsivektor F.Integral Garis (lanjutan)Integral garis dari suatu fungsi vektor A(t) sepanjang kurvaC yang terdefinisi pada a t b, dapat didefinisikan sepertiPers. (6.3).π‘ͺ𝑨. 𝒅𝒓 𝒃𝑨. 𝒅𝒓𝒂𝑏𝐴1 𝐒 𝐴2 𝐣 𝐴3 𝐀 . 𝐒𝑑π‘₯π‘Žπ‘π΄1 dx 𝐴2 𝑑𝑦 𝐴3 π‘‘π‘§π‘Ž 𝐣𝑑𝑦 𝐀𝑑𝑧(6.3)2

Integral Garis (lanjutan)Untuk obyek yang bergerak dengan lintasan tertutup dimanaA B seperti ditunjukkan Gambar 6.2, maka digunakanPers. (6.4).Gambar 6.2. Obyek dengan lintasan tertutupπ‘ͺ𝑨. 𝒅𝒓 π‘ͺ𝐴1 𝐒 𝐴2 𝐣 𝐴3 𝐀 . 𝐒𝑑π‘₯ 𝐣𝑑𝑦 𝐀𝑑𝑧 𝐢𝐴1 dx 𝐴2 𝑑𝑦 𝐴3 𝑑𝑧(6.4)Integral Garis (lanjutan)Contoh : Hitung usaha yang dihasilkan sebuah obyek yangbergerak dalam vektor F yi x2j, sepanjang kurva x 2t,y t2 – 1 dari t 0 hingga t 2.Penyelesaian :π‘ͺ𝑭. 𝒅𝒓 π’šπ’ π’™πŸ 𝐣 . 𝒅𝒙𝐒 π’…π’šπ£π‘ͺπŸπ’šπ’…π’™ π’™πŸ π’…π’šπŸŽπŸ πŸπ’• 𝟏 πŸπ’…π’• πŸπ’• 𝟐 πŸπ’•π’…π’•πŸŽπŸπŸπ’•πŸ 𝟐 πŸ–π’•πŸ‘ π’…π’•πŸŽπŸ πŸ‘πŸπŸŽπŸŽπ’• πŸπ’• πŸ–π’•πŸ’ 𝟐𝟎 πŸ‘ satuanπŸ‘panjang3

Integral PermukaanDefinisi : Jika S suatu permukaan 2 sisi yang demikianmulus dan n adalah vektor normal satuan positif, maka fluks(massa yang mengalir per satuan waktu) dari A(x,y,z)melalui permukaan S adalah seperti Pers. (6.5) yang disebutdengan integral permukaan.Fluks 𝑭 yang melintasi 𝑺 𝑺𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺(6.5)Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhanadengan memproyeksikan S pada salah satu bidangkoordinat, kemudian menghitung integral lipat 2 dariproyeksinya.Integral Permukaan (lanjutan)Jika permukaan S memiliki proyeksi pada bidang xy, makaintegral permukaan diberikan oleh Pers. (6.6).𝑺𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 𝑺𝑨. 𝒏.𝒅𝒙.π’…π’šπ’.𝐀(6.6)Sedangkan jika proyeksi pada bidang xz, maka integralpermukaan diberikan oleh Pers. (6.7).𝑺𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 𝑺𝑨. 𝒏.𝒅𝒙.𝒅𝒛𝒏.𝐣(6.7)Dan proyeksi pada bidang yz, maka integral permukaandiberikan oleh Pers. (6.8).𝑺𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 𝑺𝑨. 𝒏.π’…π’š.𝒅𝒛𝒏.𝐒(6.8)4

Integral Permukaan (lanjutan)Contoh :Hitunglah 𝑺 𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 dimana A 18zi – 12j 3yk, Sadalah bagian dari bidang 2x 3y 6z 12 yang terletakpada oktan pertama dan n adalah normal satuan pada S.Penyelesaian :Suatu normal untuk S adalah πŸπ’™ πŸ‘π’š πŸ”π’› 𝟏𝟐 𝟐𝐒 πŸ‘π£ πŸ”π€, sehingga :𝒏 𝟐𝐒 πŸ‘π£ πŸ”π€πŸπŸ‘ πŸ‘πŸ πŸ”πŸ 𝟐𝐒 πŸ‘π£ πŸ”π€πŸ•Integral Permukaan (lanjutan)maka :𝑨. 𝒏 πŸπŸ–π’›π’ 𝟏𝟐𝐣 πŸ‘π’šπ€ . 𝟐𝐒 πŸ‘π£ πŸ”π€πŸ•πŸ‘πŸ”π’› πŸ‘πŸ” πŸπŸ–π’šπŸ•πŸ‘πŸ”πŸπŸ πŸπ’™ πŸ‘π’šπŸ” πŸ‘πŸ” πŸπŸ–π’šπŸ•πŸ‘πŸ” πŸπŸπ’™πŸ•5

Integral Permukaan (lanjutan)Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang xy. Sehinggaintegral permukaan yang diinginkan adalah seperti gambarberikut :Integral Permukaan (lanjutan)𝑺𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 𝒅𝒙.π’…π’šπ’.π€πŸ‘πŸ” πŸπŸπ’™π’…π’™.π’…π’š. 𝟐𝐒 πŸ‘π£ πŸ”π€π‘ΉπŸ•.𝐀𝑹𝑨. 𝒏.𝟏𝟐 πŸπ’™ πŸ• π‘ΉπŸ‘πŸ” πŸπŸπ’™ 𝒅𝒙.π’…π’š. πŸ”πŸ•πŸ”πŸ‘πŸ” πŸπ’™ 𝒅𝒙. π’…π’šπ’™ 𝟎 π’š 𝟎𝟏𝟐 πŸπ’™πŸ”πŸ‘πŸ”π’š πŸπ’™π’šπ’…π’™π’™ πŸŽπŸŽπŸ”πŸπŸ πŸπ’™πŸπŸ πŸπ’™πŸ” πŸπ’™π’…π’™π’™ πŸŽπŸ‘πŸ‘πŸπŸ”πŸ’π’™πŸπŸ’ πŸπŸπ’™ πŸ‘ 𝒅𝒙𝒙 πŸŽπŸ’π’™πŸπŸπŸ’π’™ πŸ”π’™πŸ πŸ— πŸ”πŸŽ πŸπŸ’ satuanπŸ•luas6

Integral Volume (lanjutan)Pandang sebuah permukaan tertutup dalam ruang yangmenutup volume V, maka :𝑨 𝒅𝑽 𝑽𝑽𝑨 π’…π’™π’…π’šπ’…π’›(6.9)dan𝝓 𝒅𝑽 𝑽 𝝓 π’…π’™π’…π’šπ’…π’›(6.10)Pers. (6.10) dapat dinyatakan sebagai limit dari jumlah.Untuk lebih jelasnya lihat Gambar 6.3 yang membagiruang V ke dalam M buah kubus-kubus dengan volumeπš«π‘½π’Œ πš«π’™π’Œ πš«π’šπ’Œ πš«π’›π’Œ , π’Œ 𝟏, 𝟐, , 𝑴.𝑽Integral Volume (lanjutan)Jika π’™π’Œ , π’šπ’Œ , π’›π’Œ sebuah titikdalam kubus, dapat didefnisikan𝝓 π’™π’Œ , π’šπ’Œ , π’›π’Œ π“π’Œ . Pandangjumlah :π’π“π’Œ π‘½π’Œπ’Œ 𝟏yang diambil untuk semuakubus yang ada dalam ruangGambar 6.3. Integral volumeyang ditinjau.7

Integral Volume (lanjutan)Limit dari jumlah tersebut, jika 𝑴 , sehingga kuantitaskuantitas terbesar π‘½π’Œ akan mendekati nol, dan jika limit iniada, yang dinyatakan oleh Pers. (6.10) adalah integralvolume.Integral Volume (lanjutan)Contoh :Hitung 𝑽 𝒇(𝒙)𝒅𝑽 dengan Vadalah ruang yang dibatasi olehpermukaan-permukaan x y z 5, x 0, y 0, dan z 0,jika 𝒇 𝒙 π’™πŸ π’šπŸ π’›πŸ .Penyelesaian :8

Integral Volume (lanjutan)π‘½π’™πŸ π’š 𝟐 π’›πŸ πŸ“π’™ πŸŽπŸ“π’™ πŸŽπŸ“π’™ πŸŽπŸ“π’™ πŸŽπŸ“ 𝒙 πŸ“ 𝒙 π’š πŸπ’™ π’šπŸ π’›πŸ π’…π’›π’…π’šπ’…π’™π’š 𝟎 𝒛 πŸŽπŸ“ π’™πŸπ’™πŸ 𝒛 π’šπŸ 𝒛 π’›πŸ‘ πŸ“ 𝒙 π’šπ’…π’šπ’…π’™πŸŽπ’š πŸŽπŸ‘πŸ“ π’™πŸ“ 𝒙 π’š πŸ‘π’™πŸ π’š 𝟐 πŸ“ 𝒙 π’š π’š πŸŽπŸ‘π’™πŸ π’šπŸπŸ“ 𝒙 πŸ‘π’šπŸ’πŸπ’™ πŸ“ 𝒙 π’š πŸπŸ‘πŸ’ πŸ“ 𝒙 π’š πŸ’πŸπŸπ’…π’šπ’…π’™πŸ“ π’™π’…π’™πŸŽπŸ“ π’™πŸ πŸ“ 𝒙 πŸπŸ“ 𝒙 πŸ’ ’™πŸ“(πŸ“ 𝒙)πŸ“ πŸ”πŸ’πŸπŸŽπŸ‘πŸŽπŸ“πŸŽ πŸ”πŸπŸ“πŸ’satuan volumeTerima kasihdanSemoga Lancar Studinya!9

1 TKS 4007 Matematika III Integral Vektor (Pertemuan VI) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Integral Garis Dari Gambar 6.1, sebuah obyek bergerak dengan lintasan tidak lurus dari titik A ke titik B.Jika gaya yang diberikan