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Checkliste Sinus, Kosinus, TangensNr.K1K2K3K4K5K6K7K8KompetenzIch kann.in einem rechtwinkligen DreieckKathete, Gegenkathete undHypotenuse bestimmenin einem rechtwinkligen Dreieck dieSeitenverhältnisse sin, cos und tanaufstellen und fehlende Längenberechnen.mithilfe von Seitenverhältnissenfehlende Winkel berechnen.die oben beschriebenenKompetenzen in Sachaufgabenanwendenin Körpern rechtwinklige Dreieckenutzen, um Längen und Winkel zuberechnen.zeichnerische Lösungen imgeeigneten Maßstab anfertigen.mit dem Sinus- und Kosinussatzfehlende Winkel und Seitenlängen ineinem beliebigen Dreieckberechnen.mithilfe der Seitenverhältnisse imrechtwinkligen Dreieck und demSinus- und Kosinussatz Vermessungsaufgaben im Gelände durchführen, skizzieren und berechnenAufgabe---o L.Aufgabe 1, 2, 3 und4Aufgabe 1, 2, 3 und4Aufgabe 5, 6 und 7Aufgabe 8, 9, 10,11, 12, 13 und 14Aufgabe 15, 16 und17Aufgabe 18, 19 und20Aufgabe 21, 22, 23und 24Aufgabe 12 und 13;Aufgabe 25,26 und27Liebe Schülerin, lieber Schüler,arbeite zunächst das „Grundwissen“ zum Thema Trigonometrie durch. Danach bearbeite denTest 1 und werte ihn aus. Im Anschluss solltest du deine Kompetenzen mithilfe dieserCheckliste einschätzen.Nun musst du die Inhalte üben, die du nicht sicher beherrscht. Zum Schluss wird mit demTest 2 dein Wissen getestet. Danach ist die Wiederholungseinheit abgeschlossen.
Grundwissen TrigonometrieSeitenverhältnisse im rechtwinkligen DreieckDividiert man in einem rechtwinkligenDreieck zwei Seitenlängen durcheinander,so erhält man eine Dezimalzahl (ohneMaßeinheit). Eine solche Zahl nennt manein Seitenverhältnis. Diese Seitenverhältnisse sind für ähnliche Dreiecke gleich.Im rechtwinkligen Dreieck sind die Seitenverhältnisse in Abhängigkeit von den Winkeln (nicht dem 90 Winkel) mit Hilfe derVerhältnisse sin, cos und tan erfasst undmit dem Taschenrechner abrufbar.Die Seitenverhältnisse sin , cos und tanwerden ausgehend von einem nicht 90 Winkel wie folgt definiert:sin (Winkel ) GegenkatheteHypotenusecos (Winkel ) AnkatheteHypotenusetan (Winkel ) GegenkatheteAnkatheteFür das oben abgebildete Dreieck mit dem Winkel γ 90 ergeben sich folgende Seitenverhältnisse:acbcos(α ) catan(α ) bsin(α ) bcacos( β ) cbtan( β ) asin( β ) Man sollte sich die oben aufgeführtenSeitenverhältnisse merken. Die linksstehenden Formeln gelten nur für das obenabgebildete Dreieck mit der speziellen Lagedes 90 Winkels.Berechnung von fehlenden Seiten im rechtwinkligen Dreieck:Sind in einem rechtwinkligen Dreieck drei voneinander unabhängige Größen gegeben, sokann das Dreieck konstruiert werden. Mithilfe der Trigonometrie können die fehlenden Seitenberechnet werden.Beispiel:Gegeben: c 7cm, α 65 , γ 90 Berechnung von a:sin(α ) aca 77sin(65 ) 7 aa 6,344sin(65 ) Berechnung von b:cos(α ) bcb 77cos(65 ) 7 bb 2,96cos(65 ) Bei der Arbeit mit dem Taschenrechner muss sichergestellt werden, dass der Taschenrechner auf Winkeleingabe (degree) eingestellt ist.
Berechnung von fehlenden Winkeln im rechtwinkligen Dreieck:Die Winkelsumme im ebenen Dreieck beträgt 180 . Vie le fehlenden Winkel können mit demWinkelsummensatz berechnet werden.Auch wenn von einem rechtwinkligen Dreieck nur der rechte Winkel und zwei Seitengegeben sind, können Winkel berechnet werden. Der Taschenrechner liefert zu einemgegebenen Winkel ein entsprechendes Seitenverhältnis (Tasten sin, cos oder tan) und auchumgekehrt zu einem Seitenverhältnis (Dezimalzahl) einen Winkel (Tasten 2nd sin, 2nd cosoder 2nd tan )Beispiel:bc5,01cos α 7,45cos α 0,6724cos α α 47,74 Berechnungen in ebenen Figuren:Viele geometrische Figuren können nur dann mithilfe der Trigonometrie berechnet werden,wenn man sie so zerlegt, dass rechtwinklige Dreiecke entstehen, in denen gerechnet werdenkann (in denen drei Größen gegeben sind). Häufig werden die folgenden Figuren zerlegt:Gleichschenkliges Dreieck, gleichseitiges Dreieck, symmetrisches und unsymmetrischesTrapez, Parallelogramm, usw. Auch das allgemeine Dreieck kann durch eine Höhe in zweirechtwinklige Dreiecke zerlegt werden.Berechnungen im allgemeinen Dreieck:Im allgemeinen Dreieck können sin, cos und tan nicht angewandt werden. Hier kann mit demSinus- und dem Kosinussatz gerechnet werden.Sinussatz:sin α a sin β bsin β b sin γ cZwei Seiten verhalten sich im beliebigenDreieck wie die Sinus Werte.Kosinussatz:a 2 b 2 c 2 2bc cos αb 2 a 2 c 2 2ac cos βc 2 a b 2 2ab cos γ
Übungen zu den Kompetenzen K1 und K2Aufgabe 1:Stelle für die dargestellten rechtwinkligen Dreiecke die Seitenverhältnisse sind, cos und tanfür den eingezeichneten Winkel auf.a)b)c)Aufgabe 2:Berechne die gesuchten Größen. Fertige für jede Teilaufgabe eine Planungsskizze an.c 7,8 cma) Gegeben: α 48 β 90 b) Gegeben: γ 72 γ 90 Gesucht: b ?α 90 c) Gegeben: b 6,7 cmγ 38 b 12 cmGesucht: a ?Gesucht: c und a ?Aufgabe 3:Berechne die fehlenden Seiten im rechtwinkligen Dreieck.Seite aSeite bSeite aWinkel αWinkel βWinkel γ12,5 km27,5 m5,8 cm47 90 27,4 m4,35 dm90 72 90 45 68,5 90 17 90 Aufgabe 4:Berechne fehlende Seiten. Wähle selber eine sinnvolle Bezeichnung für die Ecken undSeiten und nutze die Variablen bei der Berechnung.
Übungen zu den Kompetenzen K3Aufgabe 5:Berechne die fehlenden Winkel in den gegebenen rechtwinkligen Dreiecken.Aufgabe 6:Berechne die fehlenden Seiten und Winkel in den folgenden rechtwinkligen Dreiecken.Fertige zu jeder Teilaufgabe eine entsprechende Planfigur an.TeilaufgabeWinkel αWinkel βWinkel γSeite aSeite bSeite ca)90 b)c)d)90 12,5 m90 90 12 dm5,8 dm2,3 km5,6 km5,2 cm10,2 m3,4 cmAufgabe 7:Fülle die Tabelle aus.TeilaufgabeWinkelsin αcos αtan αa)30 b)c)d)e)0,6f)0,220,332,560,95Übungen zur Kompetenz K4Aufgabe 8:Ein gleichseitiges Dreieck hat eine Seitenlänge von 7,5 cm. Berechne die Höhe und denFlächeninhalt dieses Dreiecks.Aufgabe 9:Ein gleichseitiges Dreieck hat eine Höhe von 10 cm.a) Fertige eine Skizze an.b) Berechne die Seitenlänge dieses gleichseitigen Dreiecks.c) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
Aufgabe 10:In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Seiten a b 8,2 cm lang. Der Winkel γ beträgt52 .a) Fertige eine Skizze dieses Dreiecks an.b) Berechne die Seite c.c) Berechne Umfang und Flächeninhalt dieses Dreiecks.Aufgabe 11:Ein senkrecht stehender Stab mit einer Länge von 2,80 m wirft einen Schatten von 2,50 m.a) Skizziere die Situation.b) Unter welchem Winkel treffen die Sonnenstrahlen auf der Erdoberfläche auf?Aufgabe 12:Wie breit ist der Fluss?Aufgabe 13:Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, wird eine Hilfslinie AH festgelegt undgemessen. Mit einem Theodolit (Gerät zum genauen Messen von Winkeln) werden vomStandpunkt S aus die Winkel in Richtung A und B gemessen. Wie breit ist der Fluss?
Aufgabe 14:Ein Kreis mit dem Radius von 7 cm enthält ein regelmäßiges Fünfeck.a) Fertige eine Skizze an.b) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt.c) Mithilfe desselben Kreises wird ein regelmäßiges 10 Eck konstruiert. Jutta behauptet,der Flächeninhalt und der umfang dieses regelmäßiges 10 Ecks ist genauso groß wieder Umfang und der Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfecks. Nimm zu dieserMeinung begründet Stellung.Übungen zur Kompetenz K5Aufgabe 15:Ein Würfel besitzt eine Seitenlänge von 6 cm. Berechne die Länge der Raumdiagonalen undverdeutliche deineBerechnungen durch eineSkizze.5 cmAufgabe 16:Abgebildet ist das Netz einerPyramide mit quadratischerGrundfläche.a) Berechne die Höhe derSeitenfläche hsb) Berechne dieKörperhöhe derPyramide hk.c) Berechne dieOberfläche derPyramide (O).d) Berechne das Volumender Pyramide (VP).Aufgabe 17:Das abgebildete Netz ergibt ein Prisma.a) Beschreibe den Körper, der durch denZusammenbau des Netzes2,8 cmentstehen kann.b) Berechne die eingezeichnete Höheim Trapez.c) Berechne den Flächeninhalt derRechtecke A,B und C. Ermittle dazualle notwendigen Maße im Trapez.d) Berechne Oberfläche und Volumen desKörpers.5 cm4,2 cm4,2 cmCAB65 Trapez45 2,2 cm7,2 cm
Übungen zur Kompetenz K6Aufgabe 18:Konstruiere das Dreieck mit c 12,5 m, b 4,8 m und γ 90 im Maßstab 1:100. Berechnealle nicht angegebenen Winkel und Seiten. Vergleiche die berechneten mit den gemessenenWerten.Aufgabe 19:a) Konstruiere ein regelmäßiges Fünfeck ineinem Kreis mit einem Radius von 8 cm.b) Miss und berechne die Höhe h einesDreiecks im regelmäßigen Fünfeck.c) Berechne den Flächeninhalt diesesregelmäßigen Fünfecks.Aufgabe 20:Ein Tennisball hat einen Durchmesser von 8 cm.Die Firma Tennisass stellt diese Bälle her undverkauft sie in einer Packung, in die sechs Bälleverpackt sind. Die Verpackung ist ein Prisma mit einem regelmäßigen Achteck alsGrundfläche.a) Skizziere die Grundfläche einer solchen Verpackung. Die Tennisbälle sollen geradehineinpassen.b) Konstruiere die Grundfläche einer 1:1 und führe alle notwendigen Berechnungendurch.Übungen zur Kompetenz K7Aufgabe 21:Berechne die fehlenden Größen in den abgebildeten Dreiecken.CEH4,1 cm44 D4,9 cm97 4,4 cm109 41 KF38 BA8 cmGAufgabe 22:Berechne im spitzwinkligen Dreieck ABC die fehlenden Stücke. Fertige jeweils eine Planfiguran.a) a 5,6cm b 20,9cm γ 82 b) a 2,5cm b 2,4cm β 47 c) c 5,6m b 3,4m γ 78
Aufgabe 23:Berechne die fehlenden Größen in den abgebildeten Dreiecken.EC105 H37 B4,7 cm4,1 cm43 6 cmK116 39 8,4 cmAFDGAufgabe 24:Berechne in den folgenden nicht rechtwinkligen Dreiecken die fehlenden Stücke.1. b 7cm; α 123 ; c 12,5cm2. a 7 dm; b 8,2dm; γ 58 3. c 3,5cm; β 78 ; a 9,5cmÜbungen zur Kompetenz K8Aufgabe 25:Ein Heißluftballon wird von zwei Standpunkten aus,die 245 m auseinander liegen, unter den Höhenwinkeln38 und 52 angepeilt. Welche Höhe hat die Gondeldes Heißluftballons über dem Gelände?Aufgabe 26:Um die Entfernung zwischen zweiGeländepunkte A und B zu bestimmen,wird im Geländepunkt B eine Messlatteaufgestellt. Am Theodoliten wird der Winkelα 2,7 gemessen. Der Theodolit hat eineStandhöhe von 1,70 m. An der Messlattewird die Entfernung BH 2,25 m gemessen.Bestimme die horizontale Entfernung vomPunkt A nach B.245 mAufgabe 27:Um die Länge eines Sees zu bestimmen wird auf einer gradlinigen Straße eine StreckeAB 340m abgesteckt. Von den Messpunkt A und B werden jeweils zwei Winkel zu denPeilpunkten C und D bestimmt.a) Trage die gemessenen Winkel in die Skizze ein.b) Zeichne die zu bestimmende Strecke CD einc) Bestimme mit diesem Messungen die Länge des Sees in mehrerenRechenschritten
DCBAD 32 BAC 92 ABC 28 ABD 95 A340 mB
Test 1:Aufgabe 1:Berechne die fehlenden Größen in den dargestellten Dreiecken.Aufgabe 2:Aufgabe 3:
Test 2:Aufgabe 1:Berechne die fehlenden Größen in den dargestellten Dreiecken.Aufgabe 2:Aufgabe 3:
Berechnungen im allgemeinen Dreieck: Im allgemeinen Dreieck können sin, cos und tan nicht angewandt werden. Hier kann mit dem Sinus- und dem Kosinussatz gerechnet werden. Sinussatz: c b b a γ β β α sin sin sin sin Zwei Seiten verhalten sich im beliebigen Dreieck wie die Sinus Wert
