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Folgen und ReihenGlege 03/01In diesem Script werden folgende Themen behandelt:Folgen (Einführung) . 1Arithmetische Folgen . 2Geometrische Folgen . 3Monotonie . 4Konvergenz . 5Grenzwert . 6Schranken . 7Arithmetische Reihen . 7Geometrische Reihen . 8Übungen. 9Lösungen der Übungsaufgaben . 11Folgen (Einführung)Bei einer Folge bestehen die Elemente der Definitionsmenge (n) aus IN (Menge der natürlichenZahlen: 1, 2, 3.) und der Wertebereich (an) aus IR (rationale Zahlen). Die Folgeglieder an entstehen durch Bildungsgesetze. n gibt die Nummer des Folgegliedes an. Das n-te Folgegliedheißt an , sein Vorgänger an-1 und sein Nachfolger an 1 .Beispiel: Das Bildungsgesetz sei an n2 Da n IN (sprich: n ist Element aus IN), ergibt sich für an die Folge der Quadratzahlen.für n 1 ergibt sich: a1 12 1für n 2 ergibt sich: a2 22 4für n 3 ergibt sich: a3 32 9usw.Wertetabelle:n123.an149.Aufgabe 1)Bilde a1 bis a5 (die ersten 5 Folgeglieder) für die folgenden Bildungsgesetze:a) an 2n b) an 2n– 1 c) an 1n1
Aufgabe 2)Bestimmen Sie aus den angegebenen Folgegliedern a1 bis a5 die Bildungsgesetze:a1a2a3a4a5a) an 47101316b) an 28183250c) an 1223344556Arithmetische FolgenBei arithmetischen Folgen ist die Differenz zweier benachbarter Folgeglieder konstant.Es gilt: an 1 – an d(d Differenz)Beispiel: an 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 . 4 4 4 4Das n-te Folgeglied einer arithmetischen Folge wird errechnet, indem zum ersten Folgeglied(n – 1)-mal die Differenz d hinzuaddiert wird.Skizze:Daraus ergibt sich ein allgemeines Bildungsgesetz für arithmetische Folgen:an a1 (n – 1) · d2
Aufgabe 3)Bestimmen Sie die fehlenden he FolgenBei geometrischen Folgen ist der Quotient zweier benachbarter Folgeglieder konstant.aEs gilt n 1 q(q Quotient)anBeispiel: an 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 . ·2·2·2·2Das n-te Folgeglied einer geometrischen Folge wird errechnet, indem zum ersten Folgeglied(n – 1)-mal der Quotient q hinzumultipliziert wird.Skizze:Daraus ergibt sich ein allgemeines Bildungsgesetz für geometrische Folgen:an a1 · qn-13
Aufgabe 4)Bestimmen Sie die fehlenden Größen:ana)b)567c)245d)a1nq3425353,125 10076MonotonieBei der Untersuchung auf Monotonie möchte man herausfinden, ob die Folgeglieder einer Folgestets steigen oder fallen. Es handelt sich dann um monoton steigende oder monoton fallendeFolgen. Bei einer streng monotonen Folge dürfen zwei benachbarte Folgeglieder nicht denselben Wert haben.für eine monoton steigende Folge gilt:an 1 anfür eine monoton fallende Folge gilt:an 1 anfür eine streng monoton steigende Folge gilt: an 1 anfür eine streng monoton fallende Folge gilt:an 1 anBeispiel:Überprüft wird die Folge an n2 1 auf die Eigenschaft „streng monoton steigend“.nan 1 an(n 1) 2 1 n 2 1 n 1n · (n 1) · n (n 1) 1 n (n 1) (n 1) n 2n 1 1 n n n n 12223n3 2n 2 n3 n 2 n 12 – n3 – n2 n 1n2 n 1 0Diese Aussage stimmt für alle „n“, d. h. die Folge ist streng monoton steigend.Aufgabe 5)1 streng monoton fallend?n 1n2b) Ist die Folge an monoton steigend?2n 2a) Ist die Folge an 4
KonvergenzDer Konvergenznachweis bestätigt die Annahme eines Grenzwertes g. Dazu bestimmt man einenBereich um den Grenzwert ( -Umgebung). Wenn die Annahme stimmt, müssen ab einembestimmten n alle weiteren Folgeglieder innerhalb der -Umgebung liegen.Skizze:Beispiel:n den Grenzwert g 1 hat. Dazu wird einen 1 -Umgebung von 0,01 angenommen. Gesucht wird nun das n , ab dem alle weiterenFolgeglieder an in der -Umgebung liegen. Dazu muss gelten:Überprüft wird, ob die Folge an an g gan g n 1 0,01n 1 Betrag, falls sich die Folge aus dem negativen Bereich demGrenzwert nähertnn 1 0,01n 1 n 1n (n 1) 0,01n 1 1 0,01n 1n 1 100n 99 Kehrwert bilden (Ungleichheitszeichen dreht sich um!) Betragstriche sind nicht notwendig, da n 1 positiv istAb dem 100. Folgeglied liegen alle weiteren in der -Umgebung.Aufgabe 6)Nehmen Sie für die folgenden Aufgaben eine -Umgebung von 0,01 an und berechnenjeweils das n.1a) Zeigen Sie, dass die Folge an den Grenzwert g 0 hat.n 1n21b) Zeigen Sie, dass die Folge an 2 den Grenzwert g hat.2n 221c) Zeigen Sie, dass die Folge an n den Grenzwert g 0 hat.35
GrenzwertBei der Grenzwertuntersuchung möchte man herausfinden, ob die Folgeglieder einer Folge sicheinem Wert annähern (konvergentes Verhalten hat einen Grenzwert) oder ob sich die Werte insUnendliche bewegen (divergentes Verhalten hat keinen Grenzwert).gibt es einen Grenzwert g, so gilt: lim an gn gibt es keinen Grenzwert g, so gilt: lim an oder n Der Grenzwert kann ein beliebiger Wert sein. Ist der Grenzwert Null, so spricht man von einerNullfolge. Das „lim“ steht für Limes (lat. Grenze) und bedeutet, dass in Gedanken ein unendlichgroßer Wert für n in das Bildungsgesetz der Folge einzusetzen ist.Beispiel:2n 6 . Dazu wird der Grenzwert für n gegenn 2Unendlich gebildet. Bei Brüchen werden alle Summanden des Zählers und des Nenners durchdie höchste Nennerpotenz dividiert. Nach dem Kürzen entstehen Konstanten und Nullfolgen(Brüche mit n im Nenner).Gesucht wird der Grenzwert der Folge an 6 2n 6 2 2n 6 n 2 0 2 lim n n lim lim n n 2 n n 2 n 1 2 1 0 n n n Diese Folge hat den Grenzwert g 2 . Mit wachsendem n nähern sich die Folgeglieder immermehr dem Wert 2.Beispiel:n 1 1 Gesucht wird der Grenzwert der Folge an . Dazu wird der Grenzwert für n gegen 2 Unendlich gebildet. Ist n ein Exponent, wird der Ausdruck so umgeformt, dass ein konvergentesoder divergentes Verhalten zu erkennen ist. 1 n n 1n 1 n 2 1 2 lim 2 1 lim 2n 0lim lim limn 2n 1 n 2 n 2 n n 2 2 Hier handelt es sich um eine Nullfolge (Grenzwert g 0) . Mit wachsendem n nähern sich dieFolgeglieder immer mehr dem Wert Null.Aufgabe 7)Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen (falls vorhanden):1a) an n 163nb) an 2n 2n 3 c) an 4
SchrankenEine Schranke ist ein Wert, der von einer Folge nicht unter- oder überschritten wird. Beikonvergenten Folgen nähern sich die Folgeglieder immer mehr dem Grenzwert, der dann auchgleichzeitig eine Schranke ist. Bei alternierenden Folgen kann es zwei Schranken geben,zwischen denen die Folgeglieder pendeln.Beispiel:nDie Glieder der alternierenden Folge an 1 pendeln ständig zwischen –1 und 1.Dieses sind sogenannte Häufungspunkte der Folge. Diese Folge konvergiert nicht. Sie hat zweiSchranken bei s1 –1 und s2 1, die nie unter- bzw. überschritten werden.Skizze:Rechnerisch zeigen wir mit der Behauptung, es gäbe Werte, die kleiner als –1 sind, dass s1 eineuntere Schranke ist:( 1) n 1Da ( 1) n nur die Werte 1 und –1 annehmen kann, ist die Behauptung falsch, d. h. s1 ist eineuntere Schranke.Def.: Eine konvergente Folge (Folge mit Grenzwert) ist damit auch beschränkt (die Folge hateine Schranke). Dagegen muss eine beschränkte Folge nicht unbedingt einen Grenzwertbesitzen.Aufgabe 8)Zeigen Sie, dass die Folgen an Schranken besitzen:1a) an ( 1) n 1 b) an 1 nnc) an sin( ) 2Arithmetische ReihenBei der arithmetischen Reihe werden die Glieder einer arithmetischen Folge aufsummiert. Eswird die Summe einer bestimmten Anzahl von Folgegliedern berechnet.Es gilt:Sn a1 a2 a3 . anAls Beispiel sollen die Folgeglieder der 5er Reihe aufsummiert werden:Sn 5 10 15 . 40 45 50Bei Änderung der Reihenfolge (a1 an a2 an-1 a3 an-2 usw.) ergibt sich:Sn 5 50 10 45 15 40 .Die Addition jeweils zweier Folgeglieder ergibt:Sn 55 55 55 .7
Aus den 10 Folgegliedern der 5er Reihe wurden 10 : 2 5 Paare gebildet, deren Summe stets55 beträgt:Sn 5 · 55Sn 275Daraus ergibt sich die allgemeine Formel zur Berechnung der arithmetische Reihe:Sn n (a1 an )2setzt man für an die Formel der arithmetische Folge ein, ergibt sich:n (a1 a1 (n 1) d )2n (2a1 (n 1) d )2Sn Aufgabe 9)Bestimmen Sie die fehlenden ometrische ReihenBei der geometrischen Reihe werden die Glieder einer geometrischen Folge aufsummiert. Eswird die Summe einer bestimmten Anzahl von Folgegliedern berechnet.Es gilt:Sn a1 a2 a3 . anbzw:Sn a1 a1 · q a1 · q2 a1 · q3 . a1 · qn-1Dieser Ausdruck wird mit q multipliziert:Sn · q a1 · q a1 · q2 a1 · q3 . a1 · qn-1 a1 · qnBei Subtraktion der beiden letzten Zeilen ergibt sich:Sn · q – Sn a1 · qn – a1Sn (q – 1) a1 (qn – 1)Daraus ergibt sich die allgemeine Formel zur Berechnung der geometrische Reihe:q n 1q 11 qnS n a11 qS n a18 für q 1 für 0 q 1
Aufgabe 10)Bestimmen Sie die fehlenden Größen:Sna)a1nq26548b)2925c)1050 50d)346 14444ÜbungenAufgabe 11)Zwischen den Zahlen 1 und 256 sollen drei Zahlen so eingeschoben werden, dass einegeometrische Folge entsteht. Welche Zahlen sind es?Aufgabe 12)Das wievielte Glied einer arithmetischen Folge mit a1 10 und d 25 ist geradegrößer als 10000?Aufgabe 13)Das wievielte Glied einer geometrischen Folge mit a1 1 und q 0,25 ist gerade1kleiner als?1000Aufgabe 14)Wie viele durch 6 teilbare Zahlen liegen zwischen 1 und 1000?Aufgabe 15)Im Erdinneren wächst die Temperatur pro 100m Tiefe um 3 C. In 25m Tiefe ist die Temperatur10 C.a) Welche Temperatur ist in 575m Tiefe?b) In welcher Tiefe beträgt die Temperatur 70 C?Aufgabe 16)In einem Saal befinden sich in der ersten Reihe 81 Stühle. In jeder weiteren Reihe verringert sichdie Anzahl um 3 Stühle.a) Wie viele Stühle befinden sich in der 9. Reihe?b) Wie viele Stühle befinden sich in den ersten 9 Reihen?Aufgabe 17)Bei einer geometrischen Folge ist a4 81 und a7 2187.a) Wie lautet das Bildungsgesetz?b) Das wievielte Folgeglied ist an 19683?Aufgabe 18)Zwischen den Zahlen 800 und 1575 sollen 24 Zahlen so eingeschoben werden, dass die Zahlendie ersten Glieder einer arithmetischen Folge sind. Wie lautet das Bildungsgesetz?9
Aufgabe 19)Beim Verkauf eines Pferdes werden für den 1. Hufnagel 1DM, für den 2. Hufnagel 2DM, für den3. Hufnagel 4DM usw. berechnet. Wie teuer ist das Pferd, wenn es mit 32 Nägeln beschlagenist?Aufgabe 20)Ab dem wievielten Glied einer unendlichen geometrische Folge mit a1 2 und q der Wert des Folgegliedes weniger als 1weicht31vom Grenzwert ab?1000Aufgabe 21)Entscheiden Sie, ob es sich um eine arithmetische oder geometrische Folge handelt undbestimmen ben: an 1, 4, 7 . an 7, 11, 15 . an 3, 6, 12 . an 36, 12, 4 . an -5, 25, -125 . 6a8Aufgabe 22)Wie viele dreistellige Zahlen sind durch 13 teilbar?Aufgabe 23)Wie lautet das Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge mit a1 16 und a25 160 ?Aufgabe 24)Schalten Sie zwischen 5 und 5120 vier natürliche Zahlen so ein, dass eine geometrische Folgevon 6 Gliedern entsteht. Wie heißen die Folgeglieder?Aufgabe 25)In 1590 Jahren zerfällt Radium auf die Hälfte seiner Masse (Halbwertszeit). In welcher Zeit sindvon 2g Radium noch 1mg übrig?Aufgabe 26)Die Intensität einer radioaktiven Strahlung nimmt beim Durchgang durch eine Bleiplatte um20% ab. Wie viel Prozent des Anfangswertes (100%) sind nach Durchdringung der 5. Bleiplattenoch vorhanden?Aufgabe 27)Ein Kapital K0 wird zu einem effektiven Jahreszins von p 4,5% solange angelegt, bis es sichverdoppelt hat. Wie viele Jahre muss man warten?Aufgabe 28)Ein Turm wird aus Würfeln gebaut. Der erste Würfel hat eine Kantenlänge von l 1m, derzweite l 0,5m. Jeder weitere hat die halbe Kantenlänge des darunter liegenden Würfels.Welche Höhe nimmt der Turm an, wenn unendlich viele Würfel aufeinandergesetzt werden?10
Lösungen:1)a) an 2; 4; 6; 8; 10. b) an 1; 3; 5; 7; 9. 1 1 1 1 1c) an ; ; ; ; . 1 2 3 4 52)a) an 3n 1 b) an 2n2 nc) an n 13)a)b)c)d)4)a)b)c)d)5)a) Die Folge ist strengmonoton fallend.b) Die Folge istmonoton steigend.6)a) n 99b) n 7c) n 57)a) g 03b) g 2c) g 08)a) s1 –1; s2 1b) s 0c) s1 –1; s2 19)a)b)c)d)10)a) Sn 7812b) a1 5c) n 32d) q 311)a2 4a3 16a4 6412)n 40113)n 614)n 16615)a) 26,5 Cb) t 2025m16)a) a9 57b) S9 62117)a) an 3 3q 1b) n 918)an 800 (n 1) 3119)a32 2147483648 DM20)ab dem 8. Folgeglied21)a)b)c)d)e)22)n 69an 59a1 3n 12d 3Sn 147a1 5n 100d 5a11 31a15 63a10 1536a6 0,148a8 390625arithm.arithm.geom.geom.geom.an 24a1 7n 3q 0,511
23)an 16 (n 1) 625)t 17435,6 Jahre 1 Ansatz: 0,001 2 2 27)n1590t 15,7 Jahre4,5 Ansatz: 2 K K 1 100 12n24)a1 5a2 20a3 80a4 320a5 1280a6 512026)26,2%Ansatz: a6 0,8628) h 2mn 1 1 2Ansatz: h lim 1 n 1 1 2
Rechnerisch zeigen wir mit der Behauptung, es gäbe Werte, die kleiner als –1 sind, dass s 1 eine untere Schranke ist: ( 1)n 1 Da ( 1)n nur die Werte 1 und –1 annehmen kann, ist die Behauptung falsch, d. h. s 1 ist eine untere Schranke. Def.: Eine konvergente Folge (Folge mit Grenzwert)
