Transcription

RANCANGAN ACAK LENGKAP DENGAN SUBSAMPELEtis Sunandi1, Sigit Nugroho2, dan Jose Rizal21 Alumni Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Bengkulu2 Staf Pengajar Matematika Fakultas MIPA Universitas BengkuluABSTRACTIn the Completely Randomized Design, the number of Experimental Unit (EU)is not limited. Sometimes, EU is not easy to be measured or to be observed. Thissituation can be handled by using the Completely Randomized Design withsubsampling.This research studies procedure of ANOVA (Analysis of Variance) in the caseof : (1) unequal numbers of EU per treatment, but a constant number of sampling unitsfor each EU, (2) an equal number or EU per treatment, but an unequal numbers ofsampling units per EU, and (3) unequal numbers of EU per treatment and unequalnumbers of sampling units per EU.The result shows that procedure of ANOVA for all of the three cases aredifferent. Furthermore, the second and third case have similar forms in term of theirexpected means squares.Keyword : Completely Randomized Design with subsampling, unequal, treatment,sampling units, ANOVA, Satterthwaites procedure1. PendahuluanPercobaan merupakan salah satu cara untuk menemukan sesuatu. Percobaansering dirancang untuk meneliti satu atau lebih populasi. Suatu kondisi yang mencirikansebuah populasi disebut perlakuan (Sriliana, 2007).Rancangan percobaan merupakan bagian dari rancangan penelitian ilmiah.Rancangan percobaan dikenal juga sebagai rancangan lapangan. Jenis-jenis rancanganlapangan yang biasanya digunakan adalah Rancangan Acak Lengkap, RancanganKelompok Acak Lengkap, Rancangan Persegi Latin, dan Rancangan Persegi LatinGraeco (Lentner & Bishop, 1986).Rancangan Acak Lengkap adalah rancangan lapangan pada suatu lokasi yanghomogen. Rancangan ini dikatakan acak karena setiap satuan percobaan mempunyaipeluang yang sama untuk mendapatkan perlakuan sedangkan dikatakan lengkap karenaseluruh perlakuan yang dirancang dalam percobaan tersebut digunakan. (Lentner &Bishop, 1986). Analisis dalam Rancangan Acak Lengkap ini dapat dilakukan denganmudah dan langsung.Dalam Rancangan Acak Lengkap, banyaknya satuan percobaan tidak dibatasi.Namun dalam beberapa situasi, dimungkinkan ketidakpraktisan untuk mengukur ataumengamati keseluruhan satuan percobaan. Oleh karena itu, upaya yang dapat dilakukanuntuk menanggulangi hal tersebut menggunakan Rancangan Acak Lengkap dengansubsampel.

Sigma Mu Rhoe-Jurnal StatistikaKetidaksamaan jumlah data tiap perlakuan dan unit sampel dapat terjadi dalamRancangan Acak Lengkap dengan subsampel. Ketidaksamaan ini dimungkinkan terjadikarena adanya data yang hilang atau jumlah ulangan yang berbeda.Menurut Lentner dan Bishop (1986) kemungkinan ketidaksamaan kasus datapengamatan yang akan ditemui antara lain : (1) ketidaksamaan jumlah ulangan tetapijumlah unit sampel sama, (2) ketidaksamaan jumlah unit sampel tetapi jumlah ulangansama, dan (3) ketidaksamaan jumlah unit sampel dan ulangan. Dari tiga kasus tersebutdimungkinkan mempunyai tabel ANAVA yang berbeda satu dengan lainnya.Berdasarkan hal tersebut, penulis tertarik untuk mempelajari dan membahasprosedur ANAVA dalam Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel pada 3 kasusyang berlainan, seperti tersebut di atas.2. Landasan Teori2.1 Rancangan Acak Lengkap (RAL)Rancangan Acak Lengkap adalah rancangan lapangan dimana seluruh satuanpercobaan homogen. (Lentner & Bishop, 1986).RAL merupakan rancangan yang paling sederhana jika dibandingkan denganrancangan-rancangan lainnya. Dalam rancangan ini sumber keragaman yang diamatihanya perlakuan dan galat. Oleh karena itu, RAL umumnya cocok digunakan untukkondisi lingkungan, alat, dan media yang homogen (Hanafiah, 2000).2.1.1 Kelebihan dan Kelemahan dari RALMenurut Lentner dan Bishop (1986), kelebihan dari Rancangan Acak Lengkapadalah sebagai berikut:a. Fleksibel. Disesuaikan dengan sumber keragaman yang ada dan tidak ada batasanantara jumlah perlakuan atau ulangan.b. Mudah dianalisis. Dari semua rancangan lapangan, RAL adalah rancangan yangpaling mudah dalam analisisnya, walaupun dalam keadaan jumlah ulangan danperlakuan tidak sama.c. Derajat bebas estimasi maksimum terdapat pada error. Ini berlaku hanya untukpercobaan-percobaan kecil atau untuk pengamatan dimana variasi luar besar.Sedangkan kelemahan dari Rancangan Acak Lengkap adalah relatif tidak efesienbila ada rancangan yang lebih tepat untuk digunakan. Hal ini bersumber dari faktabahwa semua keragaman yang tidak diketahui (serta keragaman faktor luar yang dapatdikendalikan) tercakup dalam galat percobaan (Nugroho, 2008).2.1.2 Model Linier dan AsumsiModel linier untuk Rancangan Acak Lengkap terdiri dari t perlakuan danri ulangan adalah sebagai berikut (Montgomery, 1976):(1)Yij μ τ i ε ij ; i 1, 2 , .,tj 1, 2 ,., riKeterangan:[email protected]

Rancangan Acak Lengkap dengan SubsampelYij pengamatan pada perlakuan ke - i dalam ulangan ke - jμ rataan umumτ i perlakuan ke - iε ij komponen galatAgar inferensia valid, asumsi-asumsi untuk model pengaruh tetap adalah:a. ε ij menyebar secara bebas dan identik menurut sebaran N 0 , σ ε2 untuk setiap i, j.()b. ε ij dan τ i saling bebasc. τ ri i 0id. μ adalah konstanta tetap2.1.3 Layout Data pada Rancangan Acak LengkapPada Rancangan Acak Lengkap, data-data percobaan ditabelkan sebagai berikut:Tabel 2.1 Layout Data pada Rancangan Acak LengkapPerlakuan 12 itY11 Y21 Yi1 Yt1Y12 Y22 Yi2 Yt2.Y1j Y2j Yij Ytj. YtrtTotal perlakuan Y1r1 Y2r2 YiriSumber: Lentner & Bishop, 1986Total ulangan dan total perlakuan yang diperoleh dari tabel digunakan untukpendugaan dan perhitungan jumlah kuadrat. Kedua total tersebut juga dapat digunakanuntuk menghitung rata-rata, yaitu:YYi . i . rata - rata perlakuan ke - iri(2)YY. t . rataan umum rii 12.1.4 Analisis Varian untuk Rancangan Acak LengkapModel RAL terbentuk dari perlakuan dan galat. Sebagai konsekuensinya,Analisa Varian (ANAVA) untuk Rancangan Acak Lengkap hanya mencantumkan suatusumber keragaman perlakuan dan galat.82Jurusan Matematika FMIPA Universitas Bengkulu

Sigma Mu Rhoe-Jurnal StatistikaPada ketentuan-ketentuan perhitungan, jumlah kuadrat yang diperlukan untuksumber keragaman antara lain adalah Jumlah Kuadrat Perlakuan (JKP), Jumlah KuadratGalat (JKG), dan Jumlah Kuadrat Total (JKT).Adapun pendefinisian secara umum dan formula perhitungan untuk masingmasing jumlah kuadrat adalah sebagai berikut: t ri Yij 2 Yi 1 j 1 FK faktor koreksi t . t ri rii 12(3)i 1Faktor koreksi (FK) adalah nilai untuk mengoreksi nilai rata-rata ( μ ) danperlakuan ( τ ) sehingga dalam ANAVA nilai μ 0 ( Hanafiah, 2000 ).ririJKT (Yij Y .) Yij2 FKtt2i 1 j 1(4)i 1 j 1riYi .2 FKi 1 riJKP (Yi . Y .) t2i 1 j 1rit(5)JKG (Yij Yi . ) JKT JKPt2(6)i 1 j 1Perhitungan-perhitungan di atas dapat diringkas dalam tabel ANAVA untukRAL, sebagai berikut:Tabel 2.2 ANAVA untuk Rancangan Acak dratTengaht–1JKPtJKGJKPdbJKGKTG dbPerlakuanGalat r -tii 1tTotal ri 1i–1KTP NHKTσ ε2 1ri τ i2 t 1 iσ ε2JKTSumber: Lentner & Bishop, 19862.1.5 Inferensia dalam Model TetapApabila perlakuan ke-i mendefinisikan populasi yang berdistribusi normaldengan rata-rata μi dan varian σ τ2 , biasanya dituliskan dengan τ i N μi , σ τ2 , maka()inferensia yang mungkin tentang rata-rata perlakuan salah satunya adalah pengujiankesamaan rata-rata perlakuan secara simultan. Hipotesis pengujiannya adalah sebagaiberikut :H 0 : μ1 μ2 . μt(7)H1 : paling sedikit ada μi μ j , i j 1, 2,., tYang mana dalam Rancangan Acak Lengkap akan ekivalen [email protected]

Rancangan Acak Lengkap dengan SubsampelH0 : semua rata-rata perlakuan adalah samaH1 : ada satu pasang rata-rata perlakuan yang tidak samaAtau dalam bentukH 0 : τ 1 τ 2 . τ tH1 : paling sedikit ada τ i 0, i 1, 2,., tStatistik hitungnya adalahKuadrat Tengah Perlakuan( KTP) F(α ;dbp ;dbg )Fhit Kuadrat Tengah Galat ( KTG )(8)(9)Ho ditolak jika Fhit F(α ;dbp;dbg ) , yang berarti ada pengaruh dari perlakuanterhadap pengamatan.2.2 Rancangan Acak Lengkap dengan subsampelDalam sebuah Rancangan Acak Lengkap pengukuran dan analisis dilakukanuntuk setiap satuan percobaan. Namun, dalam beberapa situasi, dimungkinkanketidakpraktisan untuk mengukur atau mengamati keseluruhan satuan percobaansehingga diperlukan penarikan sampel satuan percobaan atau disebut dengan unitsampel. Pengamatan dari rancangan dihitung menurut unit sampel. Rancangan inidisebut Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel. (Lentner & Bishop, 1986).Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel mempunyai kelebihan yang samadengan Rancangan Acak Lengkap dan lebih efisien dalam pengukuran dan analisis.Sedangkan kelemahannya adalah bertambahnya galat dikarenakan adanya galatsampel yang diambil dan juga jika ada rancangan lain yang lebih cocok digunakandalam sebuah penelitian maka Rancangan Acak Lengkap Dengan subsampel tidakefisian digunakan pada rancangan tersebut.2.2.1 Model Linier dan AsumsiModel linier untuk Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel terdiri dari tperlakuan, s unit sampel, dan r ulangan adalah sebagai berikut (Lentner & Bishop,1986):Yijk μ τ i ε ij δijk ; i 1, 2 , .,tj 1, 2 ,., r , k 1,2 ,., s(10)Keterangan :Yijk pengamatan pada perlakuan ke - i dalam perulangan ke - j dan padaunit sampel ke - kμ rataan umumτ i pengaruh perlakuan ke - iε ij komponen galatδ ijk komponen galat sampelAgar inferensia valid, asumsi-asumsi untuk model pengaruh tetap adalah:a. ε ij menyebar secara bebas dan identik menurut sebaran N 0 , σ ε2 untuk setiap i, j.b. δijk( )menyebar secara bebas dan identik menurut sebaran N (0 , σ ) i, j, k.2δc. δijk dan ε ij saling bebas.84Jurusan Matematika FMIPA Universitas Bengkulu

Sigma Mu Rhoe-Jurnal Statistikad. τ r 0i iie.μ adalah konstanta tetap.2.2.2 Layout Data pada Rancangan Acak Lengkap dengan subsampelPada Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel, data-data percobaanditabelkan seperti yang tercantum pada Tabel 2.7.Tabel 2.7 Layout Data pada Rancangan Acak Lengkap dengan subsampelPerlakuan12Y111Y211 IY112Y212 Yi 11Yi 12Y11s11Y21s21 Y121Y221Y122 t Yt 11Yt 12Yi 1si 1 Yt 1s t 1 Yi21 Yt 21Y222 Yi 22 Yt 22Y12 s12Y22 s22 Yi 2 si 2 Yt 2 st 2Y1r1 1Y2 r2 1 Yiri 1 Ytrt 1Y1r1 2Y2 r2 2 Yiri 2 Ytrt 2Y1r1s1 rY2 r2 s2 r Yiri siri Ytrt strt12Masing-masing total dirumuskan sebagai berikut :sYij . Yijkk 1rYi . Yij .(11)j 1tY. Yi .i 1Keterangan :Yij . total unit sampel pada perlakuan ke-i dalam ulangan ke-jY i . total perlakuanY. total keseluruhanTotal keseluruhan, unit sampel, dan perlakuan yang diperoleh digunakan untukpendugaan dan perhitungan jumlah kuadrat. Ketiga total tersebut juga dapat digunakanuntuk menghitung rata-rata, yaitu:[email protected]

Rancangan Acak Lengkap dengan SubsampelYi . rata - rata perlakuan ke - irsYij .Yij . rata - rata unit sampel ke - ijsYY. . rataan keseluruhanrstYi . (12)2.2.3 Analisis Varian untuk Rancangan Acak Lengkap dengan subsampelModel Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel terbentuk dari perlakuan,unit sampel, dan galat. Sebagai konsekuensinya, Analisis Varian (ANAVA) untukRancangan percobaan Acak Lengkap dengan subsampel hanya mencantumkan sumberkeragaman perlakuan, galat, dan galat sampel.Pada ketentuan-ketentuan perhitungan, jumlah kuadrat yang diperlukan untuksumber keragaman antara lain adalah Jumlah Kuadrat Perlakuan (JKP), Jumlah KuadratGalat (JKG), Jumlah Kuadrat Galat sampel (JKS), dan Jumlah Kuadrat Total (JKT).Adapun pendefinisian secara umum dan formula perhitungan untuk masingmasing jumlah kuadrat dengan jumlah ulangan dan unit sampel sama adalah sebagaiberikut: t r s Y ijk2 Y. i1j1k1 FK faktor koreksi rstrst(13)JKT (Yijk Y. ) Yijk2 FK(14)JKP (Yi . Y. ) 1 t 2 Yi . FKsr i 1(15)JKG (Yij . Y. ) 1 t r 2 1 t 2Yi . Yij . rs s i 1 j 1i 1(16)trst2i 1 j 1 k 1trstrsi 1 j 1 k 1trsrsi 1 j 1 k 12i 1 j 1 k 12trsJKS ( Yijk Yij . ) 2 Yijk2 i 1 j 1 k 1862i 1 j 1 k 11 t r 2 Yij .s i 1 j 1(17)Jurusan Matematika FMIPA Universitas Bengkulu

Sigma Mu Rhoe-Jurnal StatistikaPerhitungan-perhitungan di atas dapat diringkas dalam tabel ANAVA untukRancangan Acak Lengkap dengan subsampel adalah sebagai berikut:Tabel 2.8 ANAVA untuk Rancangan Acak Lengkap Dengan subsampel padakasus jumlah ulangan dan unit sampel samaSumberKeragamanDerajat JumlahBebas Kuadratt–1JKPGalatt(r – 1)JKGGalat hJKPdbJKGKTG dbJKSKTS dbKTP NHKTσ δ2 ασ ε2 rsφτ2σ δ2 βσ ε2σ δ2Sumber: Lentner & Bishop, 1986Keterangan : α β s2.2.4 Inferensia dalam Model TetapProsedur pengujian hipotesis pada Rancangan Acak Lengkap dengan subsampelsama dengan Rancangan Acak Lengkap, yakni ketika α β (dalam tabel 2.8). Namun,ada kasus yang menyebabkan α β , berarti tidak ada uji yang pasti mengenai ujipengaruh perlakuan. Untuk ini, dilakukan pendekatan pengujian dengan menggunakanProsedur Satterthwaites.2.2.5 Prosedur SatterthwaitesDalam sebuah pengamatan, kadang-kadang ANAVA tidak dapat membuktikanuji pasti untuk beberapa model parameter, seperti halnya pada ANAVA RancanganAcan Lengkap dengan subsampel pada kasus ke-2 dan 3.Satterthwaites telah merancang prosedur pendekatan yang dapat memberikanpengujian pada ANAVA tertentu (Seperti RAL dengan subsampel pada kasus 2 dan 3).Pada dasarnya, penyebab utama timbulnya prosedur Satterthwaites karena adanyaketidaksamaan koefesien pada nilai harapan kuadrat tengah perlakuan dan galat. Padaprinsipnya, prosedur Satterthwaites adalah sederhana, hanya menambah kuadrat tengahmaya sehingga kedua kuadrat tengah tersebut mempunyai nilai harapan yang samadalam hipotesis nol. Satu hal yang perlu diperhatikan bahwa salah satu atau keduakuadrat tengah tersebut dapat dibentuk kuadrat tengah tiruan.Misalkan KT1 KT2 . KTn merupakan kuadrat tengah lain dalam tabelANAVA. Kuadrat tengah maya (KTM) dibentuk dari kombinasi linier KTi , untuk i 1,2, ., nKTM a1 KT1 a2 KT2 . an KTn(18)Dimana a1 , a2 ,., an , ai 0 kontanta sehingga KTM mempunyai nilai harapan yangdiinginkan. Derajat bebas untuk KTM [email protected]

Rancangan Acak Lengkap dengan SubsampeldbM KTM 2n i 1( ai KTi )2(19)dbiDimana :dbM Derajat Bebas MayaKTM Kuadrat Tengah Mayaai Koefisien Kuadrat Tengah ke-iKTi Kuadrat Tengah ke-idbi Derajat Bebas ke-i2.3 Sifat-sifat Peubah Acak2.3.1 Nilai HarapanNilai harapan dalam matematika dinotasikan dengan E (peubah acak tertentu).Misalkan, suatu peubah acak X dengan kepekatan peluang f(x) mempunyai nilaiharapan E(X), yang diperoleh dari xf ( x), bila X diskritE( X ) x xf ( x), bila X kontinu (20)Misalkan X suatu peubah acak dengan kepekatan peluang f(x) dan g(x) adalahfungsi dari x. Nilai harapan g(X) adalah g ( x) f ( x), bila X diskrit(21)E [ g ( X )] x g ( x) f ( x), bila X kontinu Jika X dan Y peubah acak dengan peluang kepekatan gabungan f(x,y), makanilai harapan g(X,Y) adalah g ( x, y ) f ( x, y ), bila X diskritE [ g ( X , Y )] x y(22) g ( x, y ) f ( x, y ), bila X kontinuDalam perhitungan dimungkinkan adanya penyederhanaan nilai harapan. Hal inidilakukan bila menggunakan sifat-sifat nilai harapan. Menurut Walpole dan Myerstahun 1986, adapun sifat-sifatnya adalah sebagai berikut :Jika a dan b tetapan, maka E(aX b) a E(X) bo Akibat 1 : jika a 0, maka E(b) bo Akibat 2 : jika b 0, maka E(aX) a E(X)Nilai harapan jumlah dua fungsi atau lebih suatu peubah acak X sama denganjumlah atau selisih nilai harapan masing-masing fungsi tersebut, yaituE [ g ( X ) h( X ) . m( X ) ] E g ( X ) E h ( X ) . E m ( X ) Nilai harapan jumlah dua fungsi atau lebih suatu peubah acak X,Y sama denganjumlah atau selisih nilai harapan masing-masing fungsi tersebut, yaitu88Jurusan Matematika FMIPA Universitas Bengkulu

Sigma Mu Rhoe-Jurnal StatistikaE [ g ( X , Y ) h( X , Y ) . m( X , Y ) ] E g ( X , Y ) E h ( X , Y ) . E m ( X , Y ) o Akibat : jika dipilih g(X,Y) X, dan h(X,Y) Y maka diperolehE [ X Y ] E [ X ] E [Y ]Misalkan X dan Y dua peubah acak yang saling Bebas, nilai harapannya adalahE(XY) E(X) E(Y)Generalisasi sifat di atas dimungkinkan dapat dibuat untuk lebih dari dua peubahacak.2.3.2 VarianMenurut Walpole tahun 1995 definisi varian dengan peubah acak X adalahjumlah kuadrat dari selisih data dengan nilai tengah peubah acak tersebut, biasanyadinotasikan sebagai berikut :nvar( X ) σ 2 (x μ)i 12in(23)Adapun sifat-sifat varian menurut Nugroho(2006) adalahJika X adalah peubah acak, maka var( X ) E X 2 μ 2 , μ adalah rata-rata X( )Jika X peubah acak, dengan a dan b adalah konstanta, makavar(aX b) a 2 var( X )Jika X dan Y adalah peubah acak dengan fungsi kepekatan bersama f(x,y), makavar( X Y ) var( X ) var(Y ) 2 cov( X , Y )Jika X dan Y saling bebas dengan a dan b konstanta, makavar( X Y ) var( X ) var(Y )var ( aX bY ) a 2 var( X ) b 2 var(Y )2.3.3 Estimasi rata-rata dan varianBilamana memilih model peluang, perlu diperoleh mean (rata-rata) dan varian(ragam). Namun, biasanya nilai rata-rata dan varian populasi ini tidak diketahui, tetapidapat diestimasi atau diduga berdasarkan suatu contoh acak. Teknik secara umumdigunakan beberapa sifat nilai harapan.Misalkan X 1 , ., X n melambangkan sampel acak dari suatu populasi denganfungsi kepekatan peluang f(x). Suatu fungsi sampel acak yang tidak tergantung dengansembarang parameter yang tak diketahui disebut dengan statistik. Salah satu statistiksampel yang penting adalah rata-rata sampel, yang tidak lain adalah rata-rata peubahdalam sampel acak, dan dinotasikan dengannX Xi 1i(24)nStatistik X adalah peubah acak. Jika suatu sampel benar-benar diamati, makanilai amatan dari X biasanya dinotasikan dengan x . Nilai ini berguna sebagai pendugabagi rata-rata populasi, μ E(X)[email protected]

Rancangan Acak Lengkap dengan SubsampelNugroho (2006) menyatakan suatu penduga θˆ dikatakan sebagai penduga takbias dari parameter θ jika E( θˆ ) θ. Berdasarkan definisi ini, maka x merupakanpenduga tak bias bagi μ untuk setiap fungsi kepekatan dimana rata-ratanya ada. Sifatberikutnya mengindikasikan bahwa ragam dari X menjadi kecil, bilamana n membesar,sehingga untuk ukuran sampel yang besar, nilai amatan x biasanya akan memberikannilai dugaan yang sangat dekat dengan μ untuk n yang sangat besar.Jika rata-rata populasi μ diketahui dan σ 2 tak diketahui, maka penduga alami2bagi σ E(X-μ)2 adalahnV ( Xi 1i μ)2(25)nKarena σ2 merupakan rata-rata dari (X-μ)2. Sudah tentu, secara mudah dapat ditunjukkanbahwa E(V) σ2.Dalam kebanyakan kasus, tidak dimungkinkan untuk mendapatkan nilai rata-ratapopulasi, μ, bilamana σ2 tak diketahui, yang akan menghasilkan penduganσˆ X2 ( Xi 1i X)2(26)nNamun, penduga di atas bukan merupakan penduga tak bias bagi ragam populasi, σ-2.Untuk itu, sebagai penduga tak bias baginya, digunakannσˆ X2 ( Xi 1i X)2n 1yang merupakan modifikasi dari penduga biasnya.(27)3. Rancangan Acak Lengkap dengan Subsampel pada Kasus KetidaksamaanJumlah Ulangan tetapi Jumlah Unit Sampel Sama3.1 Model linier dan asumsiModel linier untuk Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel pada kasusketidaksamaan jumlah ulangan tetapi jumlah unit sampel sama terdiri dari t perlakuan, sunit sampel, dan ri ulangan adalah sebagai berikut (Lentner & Bishop, 1986):Yijk μ τ i ε ij δijk ; i 1, 2 , .,tj 1, 2 , ., ri , k 1,2 ,., s(28)dimana:Yijk pengamatan pada perlakuan ke - i dalam perulangan ke - j dan padaunit sampel ke - kμ rataan umumτ i pengaruh perlakuan ke - iε ij komponen galatδijk komponen galat sampelAgar inferensia valid, asumsi-asumsi untuk model pengaruh tetap adalah:90Jurusan Matematika FMIPA Universitas Bengkulu

Sigma Mu Rhoe-Jurnal Statistika( )menyebar secara bebas dan identik menurut sebaran N (0 , σ ) untuk setiap i, j, k.a. ε ij menyebar secara bebas dan identik menurut sebaran N 0 , σ ε2 untuk setiap i, j.b. δijkc.2δ τ ri i 0id. μ adalah konstanta tetape. ε ij dan δijk saling bebas3.2 Layout DataDalam Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel pada kasus ketidaksamaanjumlah ulangan tetapi jumlah unit sampel sama data-data yang diperoleh, disusundalam layout seperti di bawah ini:Tabel 3.1 Layout Data pada Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel padakasus ketidaksamaan jumlah ulangan tetapi jumlah unit sampel samaPerlakuani12Y111Y211 Y112Y212 Yi 11Yi 12Y11sY21s Y121Y221Y122 t Yt 11Yt 12Yi 1s Yt 1s Yi 21 Yt 21Y222 Yi 22 Yt 22Y12 sY22 s Yi 2 s Yt 2 sY1r1 1Y2 r2 1 Yiri 1 Ytrt 1Y1r1 2Y2 r2 2 Yiri 2 Ytrt 2Y1r1sY2 r2 s Yiri s Ytrt smasing-masing total dirumuskan sebagai berikut :sYij . Yijk s μ sτ i sε ij δ ij .(29)k 1riYi. Yij . ri s μ ri sτ i sε i. δ i.(30)j 1ttti 1i 1i 1Y. Yi. ri s μ s riτ i sε . δ .(31)dimana :Yij . total unit sampel pada perlakuan ke-i dalam ulangan ke-jY i . total [email protected]

Rancangan Acak Lengkap dengan SubsampelY. total keseluruhanTotal ulangan, unit sampel dan perlakuan yang diperoleh digunakan untukpendugaan dan perhitungan jumlah kuadrat. Ketiga total tersebut juga dapat digunakanuntuk menghitung rata-rata, yaitu:Yij . μ τ i ε ij δ ij .(32)Yij . sYYi. i. μ τ i ε i. δ i.(33)ri stY. Y.t rsi 1 rτ μ i ii 1t rii 1 ε . δ .(34)idimana :Yi. rata - rata perlakuan ke - iYij . rata - rata unit sampel ke - ijY. rataan keseluruhan3.3 Analisis VarianMenurut Lentner dan Bishop (1986), pendefinisian secara umum dan formulaperhitungan untuk masing-masing jumlah kuadrat dengan ketidaksamaan jumlahulangan tetapi unit sampel sama adalah sebagai berikut:FK faktor koreksi Y.2ts ri t ri s Yijk k 1 j 1 i 1 ts rii 1rits2i 1ritsJKT (Yijk Y. ) Yijk2 FK2i 1 j 1 k 1rits2i 1 j 1 k 1risJKG (Yij . Y. ) 2i 1 j 1 k 11 t Yi.2 FKs i 1 ri1 t ri 2 1 t Yi.2 Yij. s s i 1 j 1i 1 ristri(39)(40)1 t ri 2(41) Yij.s i 1 j 1i 1 j 1 k 1i 1 j 1 k 1Derajat bebas untuk perlakuan adalah banyaknya perlakuan dikurangi satu (t-1),tri(36)i 1 j 1 k 1JKP (Yi. Y. ) t(35)sJKS (Yijk Yij . ) 2 Yijk2 galattttti 1i 1i 1i 1 ri t , galat sampel s ri ri , dan total s ri 1 . Pencarian kuadrat tengahdari masing-masing sumber keragaman ditentukan dengan membagi jumlah kuadratdengan derajat bebas masing-masing.Perhitungan-perhitungan di atas dapat diringkas dalam tabel ANAVA untukRancangan Acak Lengkap dengan subsampel adalah sebagai berikut:92Jurusan Matematika FMIPA Universitas Bengkulu

Sigma Mu Rhoe-Jurnal StatistikaTabel 3.2 ANAVA untuk Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel Pada kasusketidaksamaan jumlah ulangan tetapi jumlah unit sampel KP r tiJKG r (s -1)JKSn–1JKTPerlakuantGalati 1tGalat sampeli1 TotaliKuadratTengahNHKTJKPdbJKGKTG dbJKSKTS dbσ δ2 ϕσ ε2 κKTP σ δ2 θσ ε2σ δ2tdengan κ s riτ i2i 1t 1, dan ϕ θ s4. Rancangan Acak Lengkap dengan Subsampel pada Kasus KetidaksamaanJumlah Unit Sampel tetapi Jumlah Ulangan Sama4.1 Model linier dan asumsiModel linier untuk Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel pada kasusketidaksamaan jumlah unit sampel tetapi jumlah ulangan sama terdiri dari t perlakuan,sij unit sampel, dan r ulangan adalah sebagai berikut (Lentner & Bishop, 1986):Yijk μ τ i ε ij δ ijk ; i 1, 2,., tj 1, 2,., r , k 1, 2,., sij(42)dimana:Yijk pengamatan pada perlakuan ke - i dalam perulangan ke - j dan padaunit sampel ke - kμ rataan umumτ i pengaruh perlakuan ke - iε ij komponen galatδijk komponen galat sampelAgar inferensia valid, asumsi-asumsi untuk model pengaruh tetap adalah:a. ε ij menyebar secara bebas dan identik menurut sebaran N 0 , σ ε2 untuk setiap i, j.b. δijk( )menyebar secara bebas dan identik menurut sebaran N (0 , σ ) untuk setiap i, j, k.2δc. r τ i 0id. μ adalah konstanta tetape. ε ij dan δijk saling [email protected]

Rancangan Acak Lengkap dengan Subsampel1.2 Layout DataDalam Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel pada kasus ketidaksamaanjumlah unit sampel tetapi jumlah ulangan sama data-data yang diperoleh, disusun dalamlayout seperti di bawah ini:Tabel 4.1 Layout Data pada Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel padakasus ketidaksamaan jumlah unit sampel tetapi jumlah ulangan samaPerlakuani12Y111Y211 Y112Y212 Yi 11Yi 12Y11s11Y21s2 j Y121Y221Y122 t Yt 11Yt 12Yi1si1 Yt1st 1 Yi21 Yt 21Y222 Yi 22 Yt 22Y12s12Y22s22 Yi 2 si 2 Yt 2 st 2Y1r1Y1r 2Y2 r1Y2 r 2 Yir1Yir 2 Ytr1Ytr 2Y1rs1rY2 rs2 r Yirsir Ytrstrmasing-masing total dirumuskan sebagai berikut :sijYij . Yijk sij μ sijτ i sij ε ij δ ij .k 1rrj 1j 1Yi. Yij . si. μ si.τ i sij ε ij δ i.tti 1i 1trY. Yi. s. μ si.τ i sij ε ij δ .(43)(44)(45)i 1 j 1dimana :Yij . total unit sampel pada perlakuan ke-i dalam ulangan ke-jY i . total perlakuanY. total keseluruhanTotal keseluruhan, unit sampel dan perlakuan yang diperoleh digunakan untukpendugaan dan perhitungan jumlah kuadrat. Ketiga total tersebut juga dapat digunakanuntuk menghitung rata-rata, yaitu:YYij . ij . μ τ i ε ij δ ij .(46)sij94Jurusan Matematika FMIPA Universitas Bengkulu

Sigma Mu Rhoe-Jurnal Statistikar s εYYi. i. μ τ i si.ij ijj 1 δ i.si.tt(47)rsi.τ i sij ε ij Y. 1 1i 1Y. μ i j δ .s.s.s.(48)dimana :Yi. rata-rata perlakuan ke-iYij . rata-rata unit sampel ke-ijY. rataan keseluruhan4.3 Analisis VarianMenurut Lentner dan Bishop (1986), pendefinisian secara umum dan formulaperhitungan untuk masing-masing jumlah kuadrat dengan ketidaksamaan jumlah unitsampel tetapi jumlah ulangan sama adalah sebagai berikut:FK faktor koreksi t r sij Yijk i 1 j 1 k 1 Y.2s.tsijr(49)r si 1 j 1t2tijsijrJKT (Yijk Y. ) Yijk2 FK2i 1 j 1 k 1trsijJKP (Yi. Y. )i 1 j 1 k 1trsij2Yi.2 FKi 1 si .ttrJKG (Yij . Y. ) 2i 1 j 1 k 1trsij(50)i 1 j 1 k 1i 1 j 1trYij2.sijsij(51)Yi.2i 1 si .t trJKS (Yijk Yij . ) Y 22ijk(52)Yij2.(53)sijDerajat bebas untuk perlakuan banyaknya perlakuan dikurangi satu (t-1), galati 1 j 1 k 1tr t , galat sampeltr sij tr , dan totali 1 j 1i 1 j 1 k 1tr si 1 j 1iji 1 j 1 1 . Pencarian kuadrat tengah darimasing-masing sumber keragaman ditentukan dengan membagi jumlah kuadrat denganderajat bebas [email protected]

Rancangan Acak Lengkap dengan SubsampelPerhitungan-perhitungan di atas dapat diringkas dalam tabel ANAVA untukRancangan acak lengkap dengan subsampel adalah sebagai berikut:Tabel 4.2ANAVA untuk Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel padakasus ketidaksamaan jumlah unit sampel tetapi jumlah ulangan uant–1JKPGalattr - tJKGtGalat sampelr si 1 j 1Totalij 1n–1JKSKuadratTengahJKPdbJKGKTG dbJKSKTS dbKTP NHKTσ δ2 κ ϕσ ε2θσ ε2 σ δ2σ δ2JKTdengan2 t t si.τ i s τ 2 i 1 i. i si 1. κ t 12trtr s2 sijij ssi 1 j 1 i .i 1 j 1 . ϕ t 1tr s2 ij s. i 1 j 1 si . θ tr t5. Rancangan Acak Lengkap dengan Subsampel pada Kasus KetidaksamaanJumlah Ulangan dan Unit Sampel5.1 Model linier dan asumsiModel linier untuk Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel pada kasusketidaksamaan ulangan dan unit sampel terdiri dari t perlakuan, sij unit sampel, dan riulangan adalah sebagai berikut (Lentner & Bishop, 1986):Yijk μ τ i ε ij δ ijk ; i 1, 2,., tj 1, 2,., ri , k 1, 2,., sij96(54)Jurusan Matematika FMIPA Universitas Bengkulu

Sigma Mu Rhoe-Jurnal Statistikadimana:Yijk pengamatan pada perlakuan ke - i dalam perulangan ke - j dan padaunit sampel ke - kμ rataan umumτ i pengaruh perlakuan ke - iε ij komponen galatδijk komponen galat sampelAgar inferensia valid, asumsi-asumsi untuk model pengaruh tetap adalah:a. ε ij menyebar secara bebas dan identik menurut sebaran N 0 , σ ε2 untuk setiap i, j.b. δijkc.( )menyebar secara bebas dan identik menurut sebaran N (0 , σ ) untuk setiap i, j, k.2δ τ ri i 0id. μ adalah konstanta tetape. ε ij dan δijk saling bebas5.2 Layout DataDalam Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel pada kasus ketidaksamaanjumlah ulangan dan unit sampel data-data yang diperoleh, disusun dalam layout sepertidi bawah ini:Tabel 5.1 Layout Data pada Rancangan Acak Lengkap dengan subsampel padakasus ketidaksamaan jumlah ulangan dan unit sampel12Y111Y211Perlakuan i Yi 11Y112Y212 Yi 12 Yt 11Yt 12Y11s11Y21s21 Yi1si1 Yt1s t 1Y121Y221 Yi 21 Yt 21Y122Y222 Yi 22 Yt 22Y12 s12Y22 s22 Yi 2 si 2 Yt 2 st 2Y1r1 1Y2 r2 1 Yiri 1 Ytrt 1Y1r1 2Y2 r2 2 Yiri 2 Ytrt 2Y1r1s1rY2 r2 s2 r Yiri sir Ytrt str12i Ttmasing-masing total dirumuskan sebagai berikut :[email protected]

Rancangan Acak Lengkap dengan SubsampelsijYij . Yijk sij μ sijτ i sij ε ij δ ij .(55)k 1ririj 1j 1Yi. Yij . si. μ si.τ i sij ε ij δ i.tttti 1i 1i 1riY. Yi. si. μ si.τ i sij ε ij δ .(56)(57)i 1 j 1dimana :Yij . total unit sampel pada perlakuan ke-i dalam ulangan ke-jY i . total perlakuanY. total keseluruhanTotal keseluruhan, unit sampel dan perlakuan yang diperoleh digunakan untukpendugaan dan perhitungan jumlah kuadrat. Ketiga total tersebut juga dapat digunakanuntuk menghitung rata-rata, yaitu:Yij . μ τ i ε ij δ ij .(58)Yij . sijriYYi. i. μ τ i si.t s εj 1ij ijsi.t δ i.(59)risi.τ i sij ε ij Y.i 1 j 1Y. μ i 1 δ .s.s.s.(60)Dimana :Yi. rata-rata perlakuan ke-iYij . rata-rata unit sampel ke-ijY. rataan keseluruhanrisi. sijj 1tris. siji 1 j 15.3 Analisis VarianModel Rancangan Acak Lengkap dengan s

Rancangan percobaan merupakan bagian dari rancangan penelitian ilmiah. Rancangan percobaan dikenal juga sebagai rancangan lapangan. Jenis-jenis rancangan lapangan yang biasanya digunakan adalah Rancangan Acak Lengkap, Rancangan Kelompok Acak Lengkap, Rancangan Persegi Latin, dan Rancangan